Question

12．已知钝角三角形ABC的面积是$\frac{1}{2}$，c=1，a=$\sqrt{2}$，则b=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．B∈（0^°，180^°）．B=45°或135^°．根据三角形ABC是钝角三角形，可得B或A为钝角．分类讨论，利用余弦定理即可得出．

解答 解：$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$×sinB=$\frac{1}{2}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．B∈（0^°，180^°）．
∴B=45°或135^°．
∵三角形ABC是钝角三角形，∴B或A为钝角．
若B为钝角，B=135°．
∴b²=1+2-2×$\sqrt{2}$×cos135°=5，
解得b=$\sqrt{5}$．
若A为钝角，B=45°．
∴b²=1+2-2×$\sqrt{2}$×cos45°=1，
解得b=1．
此时b²+c²=a²，A为直角，舍去．
综上可得：b=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．