Question

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{4x+y≥4}\\{x-2y+2≥0}\end{array}\right.$，则z=4^x•（$\frac{1}{2}$）^y的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2${\;}^{\frac{4}{3}}$
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 z=4^x•（$\frac{1}{2}$）^y=2^2x-y，设m=2x-y，作出不等式组对应的平面区域求出m的最大值即可．

解答 解：由z=4^x•（$\frac{1}{2}$）^y=2^2x-y，设m=2x-y，得y=2x-m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x-m，由平移可知当直线y=2x-m，
经过点A时，直线y=2x-m的截距最小，此时m取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2）．
代入m=2x-y，得m=4-2=2，
即目标函数m=2x-y的最大值为2．
则z的最大值为2²=4，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及换元法，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．