Question

20．设$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是任意的非零向量，且相互不平行，则下面四个命题：
①$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b=\overrightarrow 0$；
②$|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|＜|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
③$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$不与$\overrightarrow c$垂直；
④$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$．
其中是真命题的为（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}$是与$\overrightarrow{c}$共线的向量，$（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}）\overrightarrow{b}$是与$\overrightarrow{b}$共线的向量；
②，由向量减法的三角形法则，及三角形的两边之差小于第三边可知；
③，[$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$]•$\overrightarrow c$=0，；
④，$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$成立；

解答 解：设$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是任意的非零向量，且相互不平行：
对于①，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}$是与$\overrightarrow{c}$共线的向量，$（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}）\overrightarrow{b}$是与$\overrightarrow{b}$共线的向量故$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b=\overrightarrow 0$错；
对于②，由向量减法的三角形法则，及三角形的两边之差小于第三边知$|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|＜|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，正确；
对于③，∵[$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$]•$\overrightarrow c$=0，故错；
对于④，$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$，正确；
故选：D．

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．