Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且B₁D⊥A₁F，A₁C₁⊥A₁B₁．求证：
（1）直线DE∥平面A₁C₁F；
（2）平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

Answer 1

分析 （1）推导出DE∥AC，从而DE∥A₁C₁，由此能证明DE∥平面A₁C₁F．
（2）推导出AA₁⊥A₁C₁，从而A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，进而DE⊥平面AA₁B₁B，再由DE⊥A₁F，得A₁F⊥平面B₁DE，由此能证明平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．

解答 （本小题满分14分）
证明：（1）∵D，E为中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，
又∵ABC-A₁B₁C₁为棱柱，
∴AC∥A₁C₁，∴DE∥A₁C₁，
又∵A₁C₁?平面A₁C₁F，且DE?A₁C₁F，
∴DE∥平面A₁C₁F．…（6分）
（2）∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，
∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁，
又∵A₁C₁⊥A₁B₁且AA₁∩A₁B₁=A₁，AA₁，A₁B₁?平面AA₁B₁B，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
又A₁C₁∥AC∥DE，∴DE⊥平面AA₁B₁B，
又∵A₁F?平面AA₁B₁B，∴DE⊥A₁F
又∵A₁F⊥B₁D，DE∩B₁D=D，且DE，B₁D?平面B₁DE，
∴A₁F⊥平面B₁DE，
又∵A₁F?A₁C₁F，∴平面B₁DE⊥平面A₁C₁F．…（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．