Question

15．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为线段OB中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）．
（1）当以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$}为基底时，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$；
用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$；
（2）设点MN分别为边DC，BC中点．
①当以{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$}为基底时，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{d}$，
用$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$表示$\overrightarrow{AN}$，则$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{d}$．
②当以{$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$}为基底时，设$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{n}$，用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$表示：
$\overrightarrow{AB}$=$\frac{4}{3}\overrightarrow{n}-\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{n}+\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overline{OE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{n}+\frac{1}{2}\overrightarrow{m}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则、平行四边形法则逐一求解．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$；$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$，∴$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$；
（2）①依题意$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{d}$；
②$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，$2\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$；
⇒$\overrightarrow{AB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{4}{3}\overrightarrow{n}-\frac{2}{3}\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{m}-\frac{2}{3}\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{m}+\frac{2}{3}\overrightarrow{n}$；
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{n}-\frac{1}{2}\overrightarrow{m}$．

点评 本题考查了向量的线性运算，熟练运用三角形法则是解题关键，属于基础题．