Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

3

+y²=1．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）．
（Ⅰ）求证：mk=1
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|•|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+t（k＞0），由

y=kx+t x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明mk=1．
（Ⅱ）（i）证明：由（I）知OD的方程为y=-

1

3k

x，代入椭圆C的方程，得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)，又E(-

3k

3k2+1

，

t

3k2+1

)，D(-3，

1

k

)，由距离公式及t＞0能证明直线l恒过定点（-1，0）．
（ii）由G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)得若B，G关于x轴对称，则B(-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

)．结合已知条件求出B(-

3

2

，-

1

2

)，G(-

3

2

，

1

2

)关于x轴对称．由此能求出△ABG的外接圆方程．

解答： （Ⅰ）证明：设直线l的方程为y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0．
由方程组

y=kx+t x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由题意△＞0，
所以3k²+1＞t²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得x₁+x₂=-

6kt

3k2+1

，
所以y₁+y₂=

2t

3k2+1

．
由于E为线段AB的中点，
因此x_E=

3kt

3k2+1

，yE=

t

3k2+1

，
此时k_OE=

yE

xE

=-

1

3k

．
所以OE所在直线方程为y=-

1

3k

x，
又由题设知D（-3，m），
令x=-3，得m=

1

k

，
即mk=1，
（Ⅱ）（i）证明：由（I）知OD所在直线的方程为y=-

1

3k

x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，
解得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)
又E(-

3k

3k2+1

，

t

3k2+1

)，D(-3，

1

k

)，
由距离公式及t＞0得：

|OG|2=(- 3k 3k2+1 )2+( 1 3k2+1 )2= 9k2+1 3k2+1 ， |OD|= (-3)2+( 1 k )2 = 9k2+1 k ， |OE|= (- 3kt 3k2+1 )2+( t 3k2+1 )2 = t 9k2+1 3k2+1 ，

由|OG|²=|OD|•|OE|得t=k，
因此，直线l的方程为y=k（x+1）．
所以，直线l恒过定点（-1，0）．
（ii）解：由（i）得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)
若B，G关于x轴对称，
则B(-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

)．
代入y=k（x+1）整理得3k²-1=k

3k2+1

，
即6k⁴-7k²+1=0，
解得k²=

1

6

（舍去）或k²=1，
所以k=1，
此时B(-

3

2

，-

1

2

)，G(-

3

2

，

1

2

)关于x轴对称．
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以A（0，1）．
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，
设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d2+1=(d+

3

2

)2+

1

4

，解得d=-

1

2

，
故△ABG的外接圆的半径为r=

d2+1

=

5

2

，
所以△ABG的外接圆方程为(x+

1

2

)2+y2=

5

4

．

点评：本题考查两数乘积为1的证明，考查直线过定点的证明，考查三角表外接圆方程的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．