Question

已知f（x）=|x-a|+3x-2a-1，g（x）=3x-|x+3a-1|．
（Ⅰ）若a=-1，求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若对任意函数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,分段函数的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由于f（x）=

4x+2，x≥-1 2x，＜-1

，故由不等式f（x）≤6，可得

x≥-1 4x+2≤6

①，或

x＜-1 2x≤6

②．分别求得①和②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x-a|+|x+3a-1|≥2a+1 恒成立．利用绝对值三角不等式求得|x-a|+|x+3a-1|的最小值为|4a-1|，可得|4a-1|≥2a+1，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=-1，f（x）=|x-a|+3x-2a-1=

4x+2，x≥-1 2x，＜-1

，
故由不等式f（x）≤6，可得

x≥-1 4x+2≤6

 ①，或

x＜-1 2x≤6

②．
解①求得-1≤x≤1，解②求得 x＜-1，
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-1}．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x-a|+3x-2a-1≥3x-|x+3a-1|恒成立，
即|x-a|+|x+3a-1|≥2a+1 恒成立．
由于|x-a|+|x+3a-1|≥|（x-a）-（x+3a-1）|=|4a-1|，
∴|4a-1|≥2a+1，解得a≥1，或 a≤0．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．