Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．
（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求△ABP的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；
（2）求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），求出点P到直线l的距离，结合三角函数的性质求出△ABP的面积的最大值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
所以x²+y²-4x=0，所以圆C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4．
将直线l的参数方程代入圆C：（x-2）²+y²=4，并整理得${t^2}+2\sqrt{2}t=0$，
解得t₁=0，${t_2}=-2\sqrt{2}$．
所以直线l被圆C截得的弦长为$|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{2}$．
（2）直线l的普通方程为x-y-4=0．
圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），
则点P到直线l的距离$d=\frac{|2+2cosθ-2sinθ-4|}{{\sqrt{2}}}$=$|2cos（θ+\frac{π}{4}）-\sqrt{2}|$，
当$cos（θ+\frac{π}{4}）=-1$时，d取最大值，且d的最大值为$2+\sqrt{2}$．
所以${S_{△ABP}}≤\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（2+\sqrt{2}）=2+2\sqrt{2}$，
即△ABP的面积的最大值为$2+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．