Question

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=-2ctanB，且a=8，△ABC的面积为$4\sqrt{3}$，则b+c的值为$4\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值，由余弦定理可求64=（b+c）²-bc，利用三角形面积公式可求bc=16，联立即可得解b+c的值．

解答 解：∵在△ABC中btanB+btanA=-2ctanB，
∴由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=-2sinCtanB，
∴sinB（tanA+tanB）=-2sinC•$\frac{sinB}{cosB}$，
∴cosB（tanA+tanB）=-2sinC，
∴cosB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinB}{cosB}$）=-2sinC，
∴cosB•$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{cosAcosB}$=-2sinC，
∴cosB•$\frac{sin（A+B）}{cosAcosB}$=$\frac{sinC}{cosA}$=-2sinC，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$；
∵a=8，由余弦定理可得：64=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，①
∵△ABC的面积为$4\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc，可得：bc=16，②
∴联立①②可得：b+c=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于基础题．