Question

1．空间四边形ABCD的各棱长和对角线均为a，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，可设正四面体的棱长为1，cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$．
设正四面体的棱长为1，则|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{CF}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$

点评 考查用空间向量求异面直线所成角余弦值的方法，等边三角形的中线也是高线，直角三角形的边角关系，以及向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，弄清异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．