Question

给出下面命题：
①函数y=cos（

3

2

x+

π

2

）是奇函数；
②存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③若α、β是第一象限角，且α＜β，则tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5

4

π）的一条对称轴；
⑤y=2sin

3

2

x在区间[-

π

3

，

π

2

]上的最小值是-2，最大值是

2

．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：对于命题①，利用三角函数的诱导公式化简后加以判断；
对于命题②，化积后求值域可判断真假；
对于命题③，举特例说明是假命题；
对于命题④，直接把x的值代入，求出函数值看是否为±1判断；
对于命题⑤，直接求函数的值域判断．

解答： 解：∵函数y=cos（

3

2

x+

π

2

）=-sin

3

2

x是奇函数，∴命题①正确；
∵sinα+cosα=

2

sin(x+

π

4

)，∴sinα+cosα的最大值为

2

＜

3

2

，∴命题②错误；
α=60°，β=405°，α、β是第一象限角，且α＜β，但tanα=

3

＞1=tan405°，∴命题③错误；
当x=

π

8

时，函数y=sin（2x+

5

4

π）=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，∴x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5

4

π）的一条对称轴，∴命题④正确；
由x∈[-

π

3

，

π

2

]，得-

π

2

≤

3

2

x≤

3π

4

，∴-2≤2sin

3

2

x≤2，∴命题⑤错误．
∴正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了三角函数中恒等变换的应用，考查了三角函数的奇偶性、单调性及值域的求法，是中档题．