Question

如图，正四棱锥P-ABCD各棱长都为2，点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点．
（1）求证：PD∥平面QAC；
（2）求平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小；
（3）求三棱锥P-MND的体积．

Answer 1

分析：（1）连接BD，OQ，容易推出PD∥OQ，从而证明PD∥平面QAC；
（2）连接PO与MN的交点R与D，说明∠ODR就是要求的平面MND与平面ACD所成的锐角二面角大小，通过解三角形求出它的余弦值的大小；
（3）三棱锥P-MND的体积，转化为D-PMN的体积，求出高，底面面积即可得到结论．

解答：解：（1）证明：连接BD，OQ，因为点O，Q分别是AC，PB的中点．所以PD∥OQ，因为OQ 在平面QAC内，PD在平面外，所以PD∥平面QAC；
（2）连接PO与MN的交点R与D，因为MN∥AC，PO⊥底面ABCD，又AC⊥BD，所以平面POD⊥AC，所以∠ODR就是要求的平面MND与平面ACD所成的锐角二面角大小，
所以OD=

2

，OR=

2

2

，所以RD=

5 2

，所以cos∠ODR=

2

5 2

=

2 5

5

，平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小：

2 5

5

．
（3）三棱锥P-MND的体积，就是D-PMN的体积，所以它的底面面积为：

1

2

×

2

×

2

2

，高为：

2

，它的体积为：

1

3

×

1

2

× 

2

× 

2

2

×

2

=

2

6

．

点评：本题是中档题，考查棱锥中直线与平面的位置关系，特别是二面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，转化思想的应用．