Question

（2008•上海一模）如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，且已知VP-ABCD=

16

3

．
（1）求球O的表面积；
（2）设M为BC中点，求异面直线AM与PC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．
（2）以OP，OA，OB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，进一步求出

AM

，

PC

的坐标，利用向量的数量积公式求出

AM

，

PC

的夹角余弦，得到异面直线AM与PC所成角的大小．

解答：解：（1）解：如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S_ABCD=2R²，VP-ABCD=

16

3

，
所以

1

3

•2R2•R=

16

3

，R=2，
球O的表面积是16π         
（2）以OP，OA，OB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
P（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），M（-1，1，0），

AM

=(-3，1，0)，

PC

=(-2，0，-2)，
所以cos＜

AM

，

PC

＞=

6

10 8

=

3 5

10

所以异面直线AM与PC所成角的余弦值为

3 5

10

．
所以异面直线AM与PC所成角的大小为arccos

3 5

10

．

点评：本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角通过向量的数量积来解决．