Question

5．设函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）求证：不论a为何实数，f（x）一定为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数，并求此时f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据题意，任设x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）到因式乘积的形式，判断f（x₁）-f（x₂）符号，即可得出结论；
（2）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解可得a的值，即可得函数f（x）的解析式，对其解析式变形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，由指数函数的性质可得$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解可得y的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）证明：根据题意，设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由x₁＞x₂，则有${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
则所以不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）=0，
即f（0）=a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解可得a=1；
则f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
变形可得：2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，
又由2^x＞0，则有$\frac{1+y}{1-y}$＞0，
解可得-1＜y＜1，
即函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，涉及证明函数的单调性的方法、步骤，利用奇函数的定义求待定系数的值，及求函数的值域．