Question

15．若关于x的不等式$2x+\frac{2}{x-1}≥a$对于一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 根据条件，由基本不等式即可得出2（x-1）+$\frac{2}{x-1}$≥4，不等式$2x+\frac{2}{x-1}≥a$对于一切x∈（1，+∞）恒成立，即a≤（2x+$\frac{2}{x-1}$）_min，即可得出实数a的取值范围．

解答 解：∵x＞0，∴2x+$\frac{2}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+2≥6，
当2（x-1）=$\frac{2}{x-1}$，即x=2时取等号；
则关于x的不等式$2x+\frac{2}{x-1}≥a$对于一切x∈（1，+∞）恒成立，
即a≤（2x+$\frac{2}{x-1}$）_min，∴a≤6，则实数a的取值范围是（-∞，6]．
故选：C

点评 考查基本不等式以及应用基本不等式的条件，根据基本不等式求最值的方法，以及恒成立问题的处理方法，属于中档题．