Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），F₁、F₂分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，圆I与F₁P的延长线，线段F₂P，F₁F₂的延长线均相切，连接PI并延长交x轴于点D，若S${\;}_{□PI{F}_{1}}$：S${\;}_{□DI{F}_{1}}$=1：2，那么该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可得I到直线PF₁和直线F₁F₂的距离相等，连接F₁I，即为∠PF₁F₂的平分线，连接F₂I，即为∠PF₂D的角平分线，运用三角形的面积公式和内角平分线性质定理，即可得到DF₁=2PF₁，DF₂=2PF₂，两式相减，结合双曲线的定义和离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：圆I与F₁P的延长线，线段F₂P，F₁F₂的延长线均相切，可得I到直线PF₁和直线F₁F₂的距离相等，
连接F₁I，即为∠PF₁F₂的平分线，
由S${\;}_{△P{F}_{1}I}$：S${\;}_{△D{F}_{1}I}$=1：2，
可得PF₁：DF₁=PI：ID=1：2，DF₁=2PF₁，
连接F₂I，即为∠PF₂D的角平分线，
可得$\frac{P{F}_{2}}{D{F}_{2}}$=$\frac{PI}{ID}$=$\frac{1}{2}$，DF₂=2PF₂，
可得F₁F₂=DF₁-DF₂=2（PF₁-PF₂）=2•2a=2c，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用内角平分线的性质定理和三角形的面积公式，考查定义法的运用，属于中档题．