Question

17．若α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{α}{2}-β$）=-$\frac{1}{2}$，cos（$α-\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则α+β=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（$α-\frac{β}{2}$），cos（$\frac{α}{2}$-β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）的值，再根据二倍角的余弦函数公式可求cos（α+β）的值，结合范围α+β∈（0，π），即可得解．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$α-\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$α-\frac{β}{2}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），可得：sin（$α-\frac{β}{2}$）=±$\frac{1}{2}$，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），sin（$\frac{α}{2}$-β）=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{α}{2}$-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$），可得：cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos[（α-$\frac{β}{2}$）-（$\frac{α}{2}$-β）]=cos（α-$\frac{β}{2}$）cos（$\frac{α}{2}$-β）+sin（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{3}{4}$±$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，或1．
即cos（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{2}$，或1，
∴cos（α+β）=cos[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）]=2 cos²（$\frac{α}{2}$+$\frac{β}{2}$）-1=-$\frac{1}{2}$，或1．
∵α+β∈（0，π），
∴可得：α+β=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，解题时要注意角的范围，属于中档题．