在直角坐标系xoy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.以x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρcos=2$\sqrt{2}$．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程,(Ⅱ)设点P在C1上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和直线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值及对应的点P的直角坐标．

分析（Ⅰ）曲线C₁的参数方程消去α，能求出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的极坐标方程化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）设点P到直线C₂的距离为d（a），则|PQ|的最小值即为d（a）的最小值，由此能求出当P的坐标为（$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$）时，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
消去α，得曲线C₁的普通方程为x²+3y²-3=0，…（2分）
又$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，所以ρcosθ+ρsinθ=4．
∵直线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
即ρcosθ+ρsinθ=4，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线C₂的直角坐标方程为x+y-4=0．…（4分）
（Ⅱ）设点P到直线C₂的距离为d（a），…（5分）
则d（a）=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（α-\frac{π}{6}）-4|}{\sqrt{2}}$，…（7分）
|PQ|的最小值即为d（a）的最小值，…（8分）
当cos（$α-\frac{π}{6}$）=1，即$α=\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z时，$d（a）_{min}=\sqrt{2}$，
此时P的坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）．
∴当P的坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）时，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．…（10分）

点评本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值及对应的点的坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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