Question

10．在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为x²+y²-8x-2y+16=0，若直线kx-y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M有公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$]
• B． [0，+∞）
• C． [-$\frac{4}{3}$，0]
• D． （-∞，$\frac{4}{3}$]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心M的坐标与半径r，根据直线kx-y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆M有公共点，得到以M为圆心，2为半径的圆与直线kx-y+3=0有公共点，即圆心到直线kx-y+3=0的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答 解：将圆M的方程整理为标准方程得：（x-4）²+（y-1）²=1，
∴圆心C（4，1），半径r=1，
∵直线kx-y+3=0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆M有公共点，
∴只需圆C′：（x-4）²+（y-1）²=4与kx-y+3=0有公共点，
∵圆心（4，1）到直线kx-y+3=0的距离d=$\frac{|4k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，
解得：-$\frac{4}{3}$≤k≤0．
故选：C．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．