Question

1．设命题p：方程$\frac{x^2}{k-1}+\frac{y^2}{7-k}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数f（x）=x³+（k-3）x+1既有极大值点，又有极小值点．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：p真：则$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{7-k＞0}\\{7-k＞k-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{k＜7}\\{k＜4}\end{array}\right.$，即1＜k＜4…（2分）
若f（x）=x³+（k-3）x+1既有极大值点，又有极小值点，
则函数的f′（x）=3x²+（k-3）有两个不同的零点，
则k-3＜0，即k＜3，即q真：k＜3…（4分），
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q为一真一假
①若p真q假：$\left\{\begin{array}{l}1＜k＜4\\ k≥3\end{array}\right.⇒3≤k＜4…$（7分）
②若p假q真：$\left\{\begin{array}{l}{k≥4或k≤1}\\{k＜3}\end{array}\right.$，得k≤1（10分）
综上，k≤1或3≤k＜4，（14分）

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．