Question

3．随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某    工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满   足关系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，（日产品废品率=$\frac{日废品量}{日产量}×100%$）
已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．
（1）将该厂日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当该厂的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少？

Answer 1

分析 （1）利用每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式$P=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{12-x}，1≤x≤9\\ \frac{{{x^2}+20}}{480}，10≤x≤15\end{array}\right.（{x∈{N^*}}）$，即可将该厂日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）分段求出函数的最值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可知，当1≤x≤9时，$y=2x（1-p）-px=\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}$，…（2分）
当10≤x≤15时，$y=2x（1-p）-px=\frac{15x}{8}-\frac{x^2}{160}$，…（4分）
所以该厂日利润$y=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{18x-2{x^2}}}{12-x}，1≤x≤9}\\{\frac{15x}{8}-\frac{x^3}{160}，10≤x≤15}\end{array}}\right.$．…（5分）
（2）当1≤x≤9时，令$y'=\frac{{2{x^2}-48x+216}}{{{{（12-x）}^2}}}=0$，解得x=6（x=18删），…（6分）
当1≤x＜6时，y'＞0，函数单调递增，
当6＜x≤9时，y'＜0，函数单调递减，
而x=6时，y_max=6，…（8分）
当10≤x≤15时，令$y'=\frac{15}{8}-\frac{{3{x^2}}}{160}=0$，解得x=10，…（9分）
当10≤x≤15时，y'＜0，函数单调递减，
所以当x=10时，${y_{max}}=\frac{25}{2}$，…（11分）
由于$\frac{25}{2}＞6$，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为$\frac{25}{2}$千元．…（12分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．