Question

11．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$且$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，求$\frac{sin2x+2（sinx）^{2}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 根据题意，利用同角三角函数的基本关系求得sin（x+$\frac{π}{4}$）、tan（x+$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和与差的三角公式、诱导公式，即可求出结果．

解答 解：∵$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{5π}{3}$，2π），
又cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1{-cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴tan（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{3}$；
∴$\frac{sin2x+{2sin}^{2}x}{1-tanx}$=$\frac{sin2x（1+\frac{{2sin}^{2}x}{2sinxcosx}）}{1-tanx}$
=sin2x•$\frac{1+tanx}{1-tanx}$
=-cos（2x+$\frac{π}{2}$）•$\frac{tan\frac{π}{4}+tanx}{1-tan\frac{π}{4}tanx}$
=-[2${cos}^{2}（x+\frac{π}{4}）$-1]•tan（x+$\frac{π}{4}$）
=-[2×${（\frac{3}{5}）}^{2}$-1]×（-$\frac{4}{3}$）
=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式的应用问题，是基础题目．