Question

19．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n-1）a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n+16n-26对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=9•2^n-1，确定数列的公比与首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n+16n-26，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n+1+a_n=9•2^n-1，
∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，
∴q=$\frac{{a}_{3}+{a}_{2}}{{a}_{2}+{a}_{1}}$=$\frac{18}{9}$=2  
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴a_n=3•2^n-1．  n∈N^*．
（Ⅱ）b_n=（n-1）a_n=3（n-1）•2^n-1．
∴S_n=3×0×2⁰+3×1×2¹+…+3（n-2）×2^n-2+3（n-1）×2^n-1，
∴$\frac{1}{3}$S_n=0×2⁰+1×2¹+…+（n-2）×2^n-2+（n-1）×2^n-1，
∴$\frac{2}{3}$S_n=0+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1+（n-1）×2ⁿ，
∴-$\frac{1}{3}$S_n=2¹+2²+…+2^n-1-（n-1）×2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-1-（n-1）×2ⁿ=（2-n）2ⁿ-2，
∴S_n=3（n-2）2ⁿ+6，
∵S_n＞ka_n+16n-26，
∴k＜$\frac{{S}_{n}-16n+26}{{a}_{n}}$=$\frac{3×（n-2）•{2}^{n}-16n+32}{3×{2}^{n-1}}$=2（n-2）-$\frac{16n-32}{3×{2}^{n-1}}$＜2（n-2）（1-$\frac{8}{3•{2}^{n-1}}$）
令f（n）=2（n-2）（1-$\frac{8}{3•{2}^{n-1}}$）
∴f（1）=$\frac{10}{3}$，f（2）=0，
当n≥3时，n-2＞0，1-$\frac{8}{3•{2}^{n-1}}$≥1-$\frac{8}{3•{2}^{2}}$=$\frac{1}{3}$＞0，
∴f（n）_min=f（2）=0，
∴实数k的取值范围为（-∞，0）．

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．