已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$一条渐近线与x轴的夹角为30°.那么双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一条渐近线与x轴的夹角为30°，那么双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

分析由双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一的一条渐近线与x轴的夹角为30°，可得 $\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用e=$\frac{c}{a}$=转化求出双曲线的离心率．

解答解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一条渐近线与x轴的夹角为30°，
∴$\frac{b}{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键．

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