Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点M（4，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠-3）与椭圆C交于P，Q两点，记直线MP，MQ的斜率分别为k₁，k₂，试探究k₁+k₂是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式，求得a²=4b²，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k₁+k₂=0．

解答 解：（Ⅰ）依题意，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a²=4b²，
由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=5，a²=20，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）k₁+k₂为定值0，下面给出证明，
设P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8mx+2m²-20=0，
△=（8m）²-4×5×（2m²-20）＞0，解得：-5＜m＜5，且m≠-3，
则x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
则（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4），
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1），
=2×$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$+（m-5）（-$\frac{8m}{5}$）-8（m-1），
=0，
∴k₁+k₂=0，
∴k₁+k₂为定值0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．