某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题.按照题目要求独立完成全部实验操作．规定:至少正确完成其中2题获得学分2分.便可通过考察．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成:考生乙每题正确完成的概率都是$\frac{2}{3}$.且每题正确完成与否互不影响．求:(Ⅰ)分别写出甲.乙两考生正确完成题数的概率分布列.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题获得学分2分，便可通过考察．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成：考生乙每题正确完成的概率都是$\frac{2}{3}$，且每题正确完成与否互不影响．求：
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）请你判断两考生的实验操作学科能力，比较他们能通过本次考查的可能性大小．

分析（Ⅰ）由已知得甲正确完成题数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲考生正确完成题数X的概率分布列和数学期望；乙正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出乙考生正确完成题数Y的概率分布列和数学期望．
（Ⅱ）E（X）=E（Y）=2，求出D（X）和D（Y），得到D（X）＜D（Y），再求出P（X≥2）和P（Y≥2），得到P（ξ≥2）＞P（η≥2），由此判断甲的实验操作能力强．

解答解：（Ⅰ）由已知得甲正确完成题数X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴甲考生正确完成题数X的概率分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．
乙正确完成题数Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（Y=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴甲考生正确完成题数Y的概率分布列为：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（Y）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2．
（Ⅱ）∵E（X）=E（Y）=2，
D（X）=（1-2）²×$\frac{1}{5}$+（2-2）²×$\frac{3}{5}$+（3-2）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$，
D（Y）=$3×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
D（X）＜D（Y），
∵P（X≥2）=$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
P（Y≥2）=$\frac{12}{27}+\frac{8}{27}$=$\frac{20}{27}$，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，
因此，可以判断甲的实验操作能力强．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．