Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）：
①函数在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上递减；②函数图象关于x=$\frac{π}{4}$对称；③函数在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上值域为[-2，1]；④函数图象的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），以上说法正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据函数图象可求A，T，进而利用周期公式可求ω，由于（-$\frac{π}{12}$，0）在函数图象上，可求φ，函数f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）的函数解析式g（x）=2cos2x，利用余弦函数的图象和性质即可逐一判断．

解答 解：根据函数图象可得：A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{π}{2}$，可得T=π，
则$ω=\frac{2π}{T}=2$，将x=-$\frac{π}{12}$代入ωx+φ，可得：2×$（-\frac{π}{12}）$+φ=0，
解得：φ=$\frac{π}{6}$，即：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
g（x）=2cos2x在区间[0，$\frac{π}{2}$]上递减，故①正确；
函数图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故②错误；
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，则cos2x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，2cos2x∈[-2，1]，故③正确；
函数图象的对称中心为（$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z），故④正确，
综上可知，①③④正确，
故选：D．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．