Question

5．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，四边形ABB₁A₁是边长为1的正方形，若E，F分别是CB₁，BA₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若AC⊥CB₁，求几何体BCA₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得F为AB₁的中点，利用中位线定理得出EF∥AC，故而得出EF∥平面ABC；
（2）由BB₁⊥AC，AC⊥CB₁得出AC⊥平面BB₁C，于是AC⊥BC，从而利用勾股定理求出AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入棱锥的体积公式即可得出四棱锥的体积．

解答 证明：（1）连接AB₁，
∵ABB₁A₁为正方形，F为A₁B的中点，
∴F为AB₁中点，又E为CB₁中点，
∴EF∥AC，
又EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，AC?面ABC，
∴BB₁⊥AC，
又∵AC⊥CB₁，BB₁?平面BB₁C，B₁C?平面BB₁C，BB₁∩B₁C=B₁，
∴AC⊥平面BB₁C，
∵BC?平面BB₁C，
∴AC⊥BC，
∵AC=BC，AB=1，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V_{{A_1}-BC{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}•AC=\frac{1}{3}•1•\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．