Question

8．已知二项式（x+3x²）ⁿ，若它的二项式系数之和为128．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）根据二项式系数之和为2ⁿ=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．
（2）假设第r+1项的系数最大，即${C}_{7}^{r}$•3^r最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．

解答 解：（1）∵二项式（x+3x²）ⁿ，若它的二项式系数之和为2ⁿ=128，∴n=7，
故二项式（x+3x²）ⁿ=（x+3x²）⁷ 的展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项，
即T₄=${C}_{7}^{3}$•x⁴•（3x²）³=945x¹⁰；  T₅=${C}_{7}^{4}$•x³•（3x²）⁴=2835x¹¹．
（2）二项式（x+3x²）⁷ 的展开式中的通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}$•3^r•x^7+r，
假设第r+1项的系数最大，即${C}_{7}^{r}$•3^r最大，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{7}^{r}{•3}^{r}{≥C}_{7}^{r+1}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{7}^{r}{{•3}^{r}≥C}_{7}^{r-1}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$，结合r=0，1，2，3，4，5，6，7，
求得r=5或r=6，即第6项或第7项的系数最大，
即T₆=5103•x¹² ，或T₇=${C}_{7}^{6}$•3⁶•x¹³=5103x¹³．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．