Question

点P是曲线x²-y-2ln

x

=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最短距离是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,两条平行直线间的距离

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线4x+4y+1=0平行时，点P到直线4x+4y+1=0的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于-1，可得切点的坐标，此切点到直线4x+4y+1=0的距离即为所求．

解答： 解：点P是曲线y=x²-2ln

x

上任意一点，
当过点P的切线和直线4x+4y+1=0平行时，
点P到直线4x+4y+1=0的距离最小．
直线4x+4y+1=0的斜率等于-1，
令y=x²-2ln

x

的导数 y′=2x-

1

x

=-1，
解得，x=-1（舍去），或 x=

1

2

，
故曲线y=x²-2ln

x

上和直线4x+4y+1=0平行的切线
经过的切点坐标（

1

2

，

1

4

+ln2），
则切点到直线4x+4y+1=0的距离等于

|4× 1 2 +4×( 1 4 +ln2)+1|

16+16

=

2

2

（1+ln2）．
故点P到直线4x+4y+1=0的最短距离为

2

2

（1+ln2）．
故答案为：

2

2

（1+ln2）．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查点到直线的距离，以及切线到直线的距离最短，属于中档题．