Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，Sn=

n+2

3

an，则数列{a_n}的通项公式是a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中取n=n-1得Sn-1=

n+1

3

an-1 （n≥2），作差后得

an

an-1

=

n+1

n-1

，然后利用累积法求数列的通项公式．

解答： 解：由Sn=

n+2

3

an，得
Sn-1=

n+1

3

an-1 （n≥2），
两式作差得：an=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
整理得：（n-1）a_n=（n+1）a_n-1（n≥2），
∵a₁=1≠0，
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

，
则

a2

a1

=3，

a3

a2

=

4

2

，

a4

a3

=

5

3

，

a5

a4

=

6

4

，
…

an-1

an-2

=

n

n-2

，

an

an-1

=

n+1

n-1

．
累积得：an=

n(n+1)

2

=

n2+n

2

．
故答案为：

n2+n

2

．

点评：本题考查了数列递推式，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．