Question

7．已知椭圆E的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，点M$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P（-4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，可得椭圆的焦点，即c=1，再由椭圆的定义，结合两点的距离公式，可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得k_PA+k_PB=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用两点的斜率公式和点在直线上，将直线y=kx+1代入椭圆方程，运用韦达定理，代入可得k的方程，化简整理，解方程可得k的值．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
则椭圆的焦点为（-1，0），（1，0），即c=1，
点M$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆E上，
由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$
=$\frac{5}{2}$+$\frac{3}{2}$=4，
即a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由P在x轴上，直线PA，PB均与圆x²+y²=r²（r＞0）相切，
可得k_PA+k_PB=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$=0，
即有x₁y₂+4y₂+x₂y₁+4y₁=0，
由y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
可得2kx₁x₂+（x₁+x₂）（4k+1）+8=0，①
由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+8kx-8=0，
判别式△=64k²+32（3+4k²）＞0显然成立，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
代入①，可得2k•（-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$）+（-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$）（4k+1）+8=0，
解得k=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和椭圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．