题目内容
16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1．（1）当x$∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$时，求f（x）的值域，并求其对称中心；
（2）若将f（x）向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到函数g（x），再将g（x）关于直线y=2对称，求所得函数的单调递增区间．
分析 （1）利用向量的数量积公式求出f（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．
（2）根据三角函数的平移关系求出g（x），利用函数的对称性求出对称函数的表达式进行求解即可．
解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（cosx+sinx）（sinx-cosx）+1
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
若x$∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，则2x∈（$\frac{π}{2}$，π），2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
则2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（2sin$\frac{π}{6}$，2sin$\frac{π}{2}$]，
即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（1，2]，
则2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈（2，3]，
即函数f（x）的值域为（2，3]，
由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）若将f（x）向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到函数g（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{3}$]+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
设g（x）上点（x1，y1）关于直线y=2对称的点的坐标为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{\frac{{y}_{1}+y}{2}=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=4-y}\end{array}\right.$，代入g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
得4-y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
即y=3-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
点评 本题主要考查三角函数的化简和三角函数性质的考查，利用向量数量积的公式以及三角函数的图象关系，求出相应的解析式是解决本题的关键．
| A． | $arctan\frac{3}{4}$ | B． | $π-arctan\frac{3}{4}$ | C． | $arctan\frac{4}{3}$ | D． | $π-arctan\frac{4}{3}$ |
| A． | $[{3，\;\;\sqrt{10}}]$ | B． | [3，5] | C． | [3，4] | D． | $[{\sqrt{10}，\;\;5}]$ |
