Question

已知函数f（x）=

|x|

x+2

．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，根据函数f（x）=1-

2

x+2

，可得函数在区间（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四个不同的零点，则

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四个不同的实数根．再分（1）当x=0时、（2）当x＜0且 x≠-2时、（3）当x＞0时三种情况，分别求出方程的根，综合可得方程①有4个不相等的实数根的条件．

解答： 解：（Ⅰ）∵在区间（0，+∞）上，函数f（x）=

x

x+2

=

x+2-2

x+2

=1-

2

x+2

，
故函数在区间（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四个不同的零点，
则

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四个不同的实数根．
（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．
（2）当x＜0且 x≠-2时，方程①有实数根，即-

x

x+2

-kx²=0 有实数根，即 kx²+2kx+1=0 ②有实数根．
若k=0，则②无实数根；若k≠0，则由△=4k²-4k≥0，求得k＜0，或 k≥1．
设方程②的2个根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

1

k

．
显然，当k＞1时，方程②有2个不等负实数根；当k=1时，方程②有2个相等的负实数根；
当k＜0时，方程②有2个不等实数根，由x₁+x₂=-2、x₁•x₂=

1

k

＜0，可得方程②有一个负实数根（正根舍去）．
（3）当x＞0时，由方程①有实根，方程①化为kx²+2kx-1=0 ③．
若k=0，方程③无实根；若k≠0，当△=4k²-4k≥0，求得k＞0，或 k≤-1时，方程③有实根，
设方程③的2个实根分别为x₃、x₄，则x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

．
当k＞0时，△＞0，方程③有2个不相等实根，由x₃•x₄=-

1

k

＜0 可得这2个根异号，舍去负根，
∴方程③有一个正实数根．
当k≤-1，由x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

＞0可得方程③没有正实数根．
综上可得，只有当k＞1时，方程①才有4个不相等的实数根，即函数g（x）有4个不同的零点．

点评：本题主要考查函数零点和方程的根的关系，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．