Question

对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”．
（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断

c

d

，

a

b

，

a+c

b+d

之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N⁺，总存在k∈N⁺，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．求正整数n的最小值．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式

分析：（1）据新定义，代入计算判断即可；
（2）根据新定义得到ad＜bc，再利用不等式的性质，即可判断；
（3）由题意得到

mn＜2014k (m+1)n＞2015k

，继而求出n≥4029，再验证该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N⁺的每个正整数m都成立，继而求出最小值

解答： 解：（1）∵3×7＜11×2，
∴（2，7）的下位序对是（3，11）．
（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”，
∴ad＜bc，
∵a，b，c，d均为正数，故

a+c

b+d

-

a

b

=

bc-ad

(b+d)b

＞0，即

a+c

b+d

-

a

b

＞0，所以

a+c

b+d

＞

a

b

；
同理

a+c

b+d

＜

c

d

．
综上所述，

a

b

＜

a+c

b+d

＜

c

d

．
（3）依题意，得

mn＜2014k (m+1)n＞2015k

，
注意到m，n，l整数，故

mn+1≤2014k mn+n-1≥2015k

，
于是2014（mn+n-1）≥2014×2015k≥2015（mn+1），
∴n≥

4029

2014-m

，
该式对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N⁺的每个正整数m都成立
∴n≥

4029

2014-2013

=4029，
∵

m

2014

＜

k

n

＜

m+1

2015

，
∴

m

2014

＜

m+m+1

2014+2015

＜

m+1

2015

，
∴

m

2014

＜

2m+1

4029

＜

m+1

2015

，
∴对集合{t|0＜t＜2014}内的每个m∈N⁺，总存在k∈N⁺，使得（m，2014）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2015）的“下位序对”．
正整数n的最小值为4029

点评：本题考查了新定义的学习和利用，关键掌握读懂新定义，属于难题