Question

1．已知点F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点，若椭圆上存在点P使得$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$，则此椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由题意可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4a}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{3}$，当P与两焦点F₁，F₂能构成三角形时，由余弦定理可得ac的不等式，可得离心率的范围；当P与两焦点F₁，F₂共线时，可e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$；综合可得．

解答 解：由题意设$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=2|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$=2x，则2x+x=2a，
解得x=$\frac{2a}{3}$，故|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4a}{3}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{3}$，
当P与两焦点F₁，F₂能构成三角形时，由余弦定理可得
4c²=$\frac{16{a}^{2}}{9}$+$\frac{4{a}^{2}}{9}$-2×$\frac{4a}{3}$×$\frac{2a}{3}$×cos∠F₁PF₂，
由cos∠F₁PF₂∈（-1，1）可得4c²=$\frac{20{a}^{2}}{9}$-$\frac{16{a}^{2}}{9}$cos∠F₁PF₂∈（$\frac{4{a}^{2}}{9}$，$\frac{36{a}^{2}}{9}$），
即$\frac{4{a}^{2}}{9}$＜4c²＜$\frac{36{a}^{2}}{9}$，∴$\frac{1}{9}$＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜1，即$\frac{1}{9}$＜e²＜1，∴$\frac{1}{3}$＜e＜1；
当P与两焦点F₁，F₂共线时，可得a+c=2（a-c），解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[$\frac{1}{3}$，1）
故选：D

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．