我们把由半椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$与半椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}=1$合成的曲线称作“果圆 .其中a2=b2+c2.a＞0.b＞c＞0．如图.点F0.F1.F2是相应椭圆的焦点.A1.A2和B1.B2分别是“果圆与x.y轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

我们把由半椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（x≥0）与半椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}=1$（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂分别是“果圆”与x，y轴的交点．
（1）若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

分析（1）由三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，得出a，b，c的关系，求出a，b，c的值，进而得出“果圆”的方程；
（2）由|A₁A₂|＞|B₁B₂|可得a，b，c的不等关系式，把c用a，b代替，得到含有a，b的不等式，求解不等式得答案．

解答解：（1）由题意可得，F₀（c，0），F₁（0，-$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$），F₂（0，$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$），
则|F₀F₁|=$\sqrt{（{b}^{2}-{c}^{2}）+{c}^{2}}$=b=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴${c}^{2}=\frac{3}{4}$，${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，
故所求“果圆”方程为$\frac{4}{7}{x}^{2}+{y}^{2}=1$（x≥0）和${y}^{2}+\frac{4}{3}{x}^{2}=1$（x≤0）；
（2）由|A₁A₂|＞|B₁B₂|，得a+c＞2b，c＞2b-a，即$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$＞2b-a．
两边平方得a²-b²＞（2b-a）²，
则$\frac{b}{a}＜\frac{4}{5}$，又b＞c，
∴b²＞c²，即b²＞a²-b²，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}＞\frac{1}{2}$，即$\frac{b}{a}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$\frac{b}{a}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{4}{5}$）．

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