Question

3．已知圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4．
（Ⅰ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；
（Ⅱ）若直线ax-y+4=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；
（Ⅱ）求出圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由圆的方程得到圆心（1，2），半径r=2，
当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0，
由题意得：$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴方程为y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y-5=0，
则过点M的切线方程为x=3或3x-4y-5=0；
（Ⅱ）∵|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线的距离为1，
∴$\frac{|a-2+4|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=1，∴a=-$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，利用了分类讨论的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．