Question

16．若A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）=$\frac{4}{x}$，P（B）=$\frac{1}{y}$，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可知$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）=5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$，根据基本不等式即可求出最小值．

解答 解：A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）=$\frac{4}{x}$，P（B）=$\frac{1}{y}$，且x＞0，y＞0，
∴P（A）+P（B）=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）=5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=9．当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=2y时等号成立
∴x+y的最小值为9．
故答案为：9．

点评 本题考查两数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件及基本不等式性质的合理运用．