Question

16．数列{a_n}中，a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是等比数列
（2）记b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$，数列{b_n}前n项的和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{3}$
（3）是否存在成等差数列且互不相等的三个正整数m、s、r，使得a_m-1、a_s-1、a_r-1成等比数列，若存在，求出所有满足条件的正整数m、s、r，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件两边取倒数，再由等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式可得a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，求得b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（1+{2}^{n}）（1+{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得证；
（3）假设存在互不相等的正整数m，s，r满足条件，则有$\left\{\begin{array}{l}{m+r=2s}\\{（{a}_{s}-1）^{2}=（{a}_{m}-1）（{a}_{r}-1）}\end{array}\right.$，化简整理，再由基本不等式即可判断．

解答 解：（1）证明：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，可得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{a}_{n}}$，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$，
即为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）证明：由（1）可得，$\frac{1}{{a}_{n}}-1$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，
则b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（1+{2}^{n}）（1+{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$，
即有前n项的和为S_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{1+{2}^{n+1}}$＜$\frac{1}{3}$．
即有S_n＜$\frac{1}{3}$；
（3）由（2）知，a_n=$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$，
假设存在互不相等的正整数m，s，r满足条件，
则有$\left\{\begin{array}{l}{m+r=2s}\\{（{a}_{s}-1）^{2}=（{a}_{m}-1）（{a}_{r}-1）}\end{array}\right.$，
可得$\frac{1}{（1+{2}^{s}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{2}^{m}}$•$\frac{1}{1+{2}^{r}}$，
化简可得1+2^2s+2^s+1=1+2^m+r+2^m+2^r，
即为2^s+1=2^m+2^r，
由2^m+2^r≥2$\sqrt{{2}^{m}•{2}^{r}}$=2$\sqrt{{2}^{m+r}}$=2•2^s=2^s+1，
当且仅当m=r时等号成立，
这与m，s，r互不相等矛盾．
所以不存在互不相等的正整数m，s，r满足条件．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查构造法的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，存在性问题的解法，属于中档题．