Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程：
（Ⅱ）过椭圆焦点F的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若F是右焦点，y轴上一点M（0，$\frac{1}{3}$）满足|MN|=|MB|，求直线1斜率k的值；
（2）若F是左焦点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线1交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出c，a，从而可求b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）（1）设直线的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．
（2）利用AB的中垂线方程，由此能求出点G横坐标的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）（1）已知F₂（1，0），设直线的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的中点坐标为（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$）
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）
∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：$\frac{1}{3}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（0-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
即2k²-3k+1=0，解得k=1或$\frac{1}{2}$；
②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意
∴斜率k的取值为0，1或$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）AB的中垂线方程为y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4{k}^{2}+2}$
∵k≠0，∴-$\frac{1}{2}$＜x_G＜0
∴点G横坐标的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．