Question

3．已知双曲线C的中心在坐标原点，F（-2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为$\sqrt{3}$x-y=0．
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）联立方程组，消元，根据判别式即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$a=1\;，b=\sqrt{3}$，所以双曲线方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}-3=0}\end{array}\right.$得（3-k²）x²-2kx-4=0，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以3-k²=0或△=（-2k）²+16（3-k²）=0，
即k²=4或k²=3，
所以k=±$\sqrt{3}$或k=±2．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，以及直线和双曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．