题目内容
已知
=(cos(θ-
)， 1)，
=（3，0），其中θ∈(
，
)，若
•
=1．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．
| a |
| π |
| 4 |
| b |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 4 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：平面向量及应用
分析：（I）利用数量积运算、平方关系、两角和差的正弦公式即可得出；
（II）利用两角和差的余弦公式、基本关系式即可得出．
（II）利用两角和差的余弦公式、基本关系式即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）∵
•
=1．∴cos(θ-
)=
，
∵θ∈(
，
)，∴(θ-
)∈(
，π)．
∴sin(θ-
)=
，
∴sinθ=sin[(θ-
)+
]=sin(θ-
)cos
+cos(θ-
)sin
=
．
（Ⅱ）由cos(θ-
)=
得sinθ+cosθ=
，
两边平方得：1+2sinθcosθ=
，即sin2θ=-
，
∵θ-
∈(
，π)，且cos(θ-
)＞0，
∴θ-
∈(
，
)，∴θ∈(
，
)，∴2θ∈(π，
π)．
∴cos2θ=-
，∴tan2θ=
．
| a |
| b |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
∵θ∈(
| π |
| 2 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴sin(θ-
| π |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
∴sinθ=sin[(θ-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
4+
| ||
| 6 |
（Ⅱ）由cos(θ-
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
两边平方得：1+2sinθcosθ=
| 2 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
∵θ-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴θ-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∴cos2θ=-
4
| ||
| 9 |
7
| ||
| 8 |
点评：本题考查了数量积运算、两角和差的余弦公式、基本关系式，属于基础题．
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