Question

4．已知函数f（x）=x²-2x+mlnx（m∈R），$g（x）=（x-\frac{3}{4}）{e^x}$．
（Ⅰ）若m=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求g（x₁-x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出k的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）求出${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，${x_1}-{x_2}=-\sqrt{1-2m}$，令$t=-\sqrt{1-2m}（m∈（0，\frac{1}{2}）），t∈（-1，0）$，则问题转化为$g（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}$在$t∈（0，\frac{1}{2}）$的最值，根据函数的单调性求出其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=x²-2x+lnx
所以${f^/}（x）=2x-2+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x}（x＞0）⇒{f^/}（1）=1，k=1$，∵f（1）=-1，
所以在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=k（x-1）=x-1⇒x-y-2=0…（3分）
（Ⅱ）${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}（x＞0）$
∵2x²-2x+m=0的△=4-8m的对称轴为$x=\frac{1}{2}$…（5分）
（1）当△＜0即$m＞\frac{1}{2}$时，方程2x²-2x+m=0无解，
${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）单增
当△=0即$m=\frac{1}{2}$时，方程2x²-2x+m=0有相等的实数解，…（6分）
${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}≥0$在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）单增；
（2）当△＞0即$m＜\frac{1}{2}$时，方程2x²-2x+m=0有解，
解得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$
当m≤0时，x₁＜0＜x₂，解不等式${f^/}（x）=2x-2+\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}＞0⇒x＞{x_2}$
所以f（x）在（x₂，+∞）单增，在（0，x₂）单减；
当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，0＜x₁＜x₂，解不等式$\frac{{2{x^2}-2x+m}}{x}＞0⇒x＞{x_2}或0＜x＜{x_1}$
所以f（x）在（x₂，+∞）单增，在（x₁，x₂）单减，在（x₂，+∞）和（0，x₁）单增，…（8分）
综上所得：m≤0时，函数在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$）单调递减，（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）单调递增；
0＜m＜$\frac{1}{2}$时，函数在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$）单调递增，在（$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$）单调递减，（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）单调递增；
m≥$\frac{1}{2}$时，函数在（0，+∞）单调递增                                 …（9分）
（Ⅲ）?由（Ⅰ）可知当$m∈（0，\frac{1}{2}）$时函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂），
且x₁，x₂为方程2x²-2x+m=0的两个根，
则${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2m}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2m}}}{2}$，${x_1}-{x_2}=-\sqrt{1-2m}$，
令$t=-\sqrt{1-2m}（m∈（0，\frac{1}{2}）），t∈（-1，0）$，
则问题转化为$g（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}$在$t∈（0，\frac{1}{2}）$的最值，
又∵${g^/}（t）=（t-\frac{3}{4}）{e^t}+{e^t}=（t+\frac{1}{4}）{e^t}$，且$t∈（-1，-\frac{1}{4}）时{g^/}（t）≤0，t∈[{-\frac{1}{4}，0}）时{g^/}（t）≥0$，
…（11分）
所以g（t）在$t∈（-1，-\frac{1}{4}）时g（t）单减，t∈[{-\frac{1}{4}，0}）时g（t）单增$，
所以当$t=-\frac{1}{4}$时g（t）最小．
∴$g{（t）_{min}}=g（-\frac{1}{4}）=-{e^{-\frac{1}{4}}}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查切线方程问题，是一道综合题．