题目内容
9．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F，过F作与x轴垂直的直线l与两条渐近线相交于A、B两点，P是直线l与双曲线的一个交点．设O为坐标原点．若有实数m、n，使得$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且$mn=\frac{2}{9}$，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$ | B． | $\frac{9}{8}$ | C． | $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$ | D． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ |
分析 求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用$mn=\frac{2}{9}$，即可求出双曲线的离心率．
解答 解：由题意可知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F（c，0），渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
则A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$）
代入$\overrightarrow{OP}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
得$\frac{[（m+n）c]^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{[（m-n）\frac{bc}{a}]^{2}}{{b}^{2}}$=1，由e=$\frac{c}{a}$，整理得：4e2mn=1，
由$mn=\frac{2}{9}$，
∴e=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
故选A．
点评 本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线的渐近线方程，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．
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| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | a |