Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

16 (1+an)(5+an) ，n为奇数 15×22n-3，n为偶数

，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接根据已知条件，建立等量关系求出数列的通项公式．
（2）利用分类的方法和裂项相消的方法求数列的和．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴a22=a₂a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（Ⅰ）得bn=

4 n(n+2) ，n为奇数 15×22n-3，n为偶数

①当n为奇数时，bn=

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
②当n为偶数时，b_n是等比数列，直接利用求和公式求解．
所以T2n=2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)+15(21+25+…+24n-3)
=2-

2

2n+1

+15×

2(1-16n)

1-16

=24n+1-

2

2n+1

．

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用分类法求数列的和，裂项相消法求数列的和．属于基础题型．