Question

（几何法）已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据圆x²+y²+x-6y+m=0求出圆心C坐标及半径，设P、Q两点的中点A的坐标是（a，b），由弦的中点的性质列出方程组求出a、b，代入两点间的距离公式求出OA，再由OP⊥OQ和直角三角形的性质求出PQ，利用弦长公式求出半径r、m即可．

解答： 解：由圆x²+y²+x-6y+m=0得，圆心C坐标为（-

1

2

，3），半径r²=

37

4

-m＞0，
设P、Q两点的中点A的坐标是（a，b），
因为PQ是圆x²+y²+x-6y+m=0的弦，所以CA⊥PQ，
则

a+2b-3=0 b-3 a+ 1 2 ×(- 1 2 )=-1

，解得a=-1、b=2，
所以P、Q两点的中点A的坐标是（-1，2），则OA=

1+4

=

5

，
因为OP⊥OQ，所以PQ=2OA=2

5

，
因为圆心C到直线x+2y-3=0的距离d=

|- 1 2 +2×3-3|

1+4

=

5

2

，
则由弦长公式得，r²=(

5

2

)2+(

5

)2=

37

4

-m，解得r=

5

2

，且m=3，
所以该圆的圆心坐标是（-

1

2

，3），半径r=

5

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程的求圆心、半径，弦长公式、弦的中点的性质，直角三角形的性质等，体现了几何法的应用，是常考题型．