Question

设变量x，y满足约束条件

y≥x x+2y≤2 x≥-2

，则z=x-3y的最小值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：将z=x-3y变形为y=

1

3

x-

z

3

，此式可看作是斜率为

1

3

，纵截距为-

z

3

的一系列平行直线，当-

z

3

最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线y=

1

3

x向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．

解答： 解：由z=x-3y，得y=

1

3

x-

z

3

，此式可看作是斜率为

1

3

，纵截距为-

z

3

的直线，
当-

z

3

最大时，z最小．
画出直线y=x，x+2y=2，x=-2，从而可标出不等式组

y≥x x+2y≤2 x≥-2

表示的平面区域，如右图所示．
由图知，当动直线y=

1

3

x-

z

3

经过点P时，z最小，此时由

x=-2 x+2y=2

，得P（-2，2），
从而z_min=-2-3×2=-8，即z=x-3y的最小值是-8．
故答案为：-8．

点评：本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：
（1）作出已知不等式组表示的平面区域；
（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．