Question

在平面直角坐标系xOy中，已知以C₁为圆心的圆的方程为：（x+1）²+y²=1，以C₂为圆心的圆的方程为：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若过点C₁的直线l沿x轴向左平移3个单位，沿y轴向下平移4个单位后，回到原来的位置，求直线l被圆C₂截得的弦长；
（Ⅱ）圆D是以1为半径，圆心在圆C₃：（x+1）²+y²=9上移动的动圆，若圆D上任意一点P分别作圆C₁的两条切线PE，PF，切点为E，F，求

C1E

•

C1F

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k-4=kx+k+3k-4，可得l的方程，求出圆心C₂（3，4）到l：4x-3y+4=0的距离，即可求直线l被圆C₂截得的弦长；
（Ⅱ）利用数量积公式，求出

C1E

•

C1F

，即可求出

C1E

•

C1F

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），
向左平移3个单位，向下平移4个单位后得：y=k（x+3）+k-4=kx+k+3k-4
依题意得3k-4=0即k=

4

3

；所以l：4x-3y+4=0
所以圆心C₂（3，4）到l：4x-3y+4=0的距离为

4

5

．
所以被截得弦长为2

12-( 4 5 )2

=

6

5

…．（6分）
（Ⅱ）动圆D是圆心在定圆（x+1）²+y²=9上移动，半径为1的圆
设∠EC₁F=2α，则在Rt△PC₁E中，cosα=

|C1E|

|PC1|

=

1

|PC1|

，

有cos2α=2cos2α-1=

2

|PC1|2

-1，则

C1E

•

C1F

=|

C1E

||

C1F

|cos2α=cos2α=

2

|PC1|2

-1
由圆的几何性质得，|DC₁|-r≤|PC₁|≤|DC₁|+r，即2≤|PC₁|≤4，4≤|PC1|2≤16
则

C1E

•

C1F

的最大值为-

1

2

，最小值为-

7

8

． 故

C1E

•

C1F

∈[-

7

8

，-

1

2

]．…..（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．