Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

m

=（

3

sinA-cosA，2cosA），

n

=（2cosB，

3

sinB-cosB），

m

∥

n

．
（1）求∠C的大小；
（2）若sinA=ksinB，c=7，△ABC的周长为20，求k的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）应用向量共线的坐标表示，化简三角函数式，注意应用两角和差公式，以及同角公式和诱导公式，即可求出C；
（2）分别应用正弦定理和余弦定理，求出a，b的关系式，结合条件解方程，注意两解，即可求出k的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sinA-cosA，2cosA），

n

=（2cosB，

3

sinB-cosB），且

m

∥

n

，
∴（

3

sinA-cosA）（

3

sinB-cosB）=2cosA•2cosB，
即3sinAsinB+cosAcosB-

3

（sinAcosB+cosAsinB）=4cosAcosB，
∴3（cosAcosB-sinAsinB）=-

3

（sinAcosB+cosAsinB），
即

3

cos（A+B）=-sin（A+B），
∴tan（A+B）=-

3

，即tan（π-C）=-

3

，
∴tanC=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）∵sinA=ksinB，
∴由正弦定理得，a=kb①，
∵c=7，△ABC的周长为20，
∴a+b=13②，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
即a²+b²-ab=49，（a+b）²-3ab=49，
∴ab=40③，
由②③解得，

a=5 b=8

或

a=8 b=5

，
代入①得，k=

5

8

或

8

5

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理及应用，同时考查两向量的共线的坐标表示，以及三角恒等变换等知识，考查基本的化简运算能力，解题时应注意两向量共线与垂直的坐标表示的区别．